算法设计与分析 期末项目（1）

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问题描述

Capacitated Facility Location Problem

  • Suppose there are n facilities and m customers. We wish to choose:
    1. which of the n facilities to open
    2. the assignment of customers to facilities
  • The objective is to minimize the sum of the opening cost and the assignment cost
  • The total demand assigned to a facility must not exceed its capacity.

问题分析

​ 问题名为Capacitated Facility Location Problem，也叫有容量限制的设施选址问题，它实际上属于设施选址问题（Facility Location Problem)这一个运筹学中的经典大类问题，这一类问题有很多种变体，其中我们这次的问题CFLP指的是在一组候选设施中选出若干个设施以服务所有的顾客。每个设施都有开设所需的成本，也有分别服务每位顾客所需的成本，同时，一个设施最多能服务的人数也有限制。我们的目标是找到一个最优解以使得总的成本最小。

​ CFLP问题可以写成数学形式，也就是：

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​ 其中：

  • i表示设施

  • j表示顾客

  • c(ij)表示设施i为顾客j提供服务的成本

  • y(ij)表示是否让设施i为顾客j提供服务

  • f(i)表示设施开设的成本

  • x(i)为一个布尔值，表示该设施是否开设

  • d(j)表示顾客要消耗多少商品(demand)

  • u(i)表示设施能够提供多少商品

    显然，这属于一个NP-Hard问题，那么如何来对这个问题进行求解呢？这里提供两种算法。

算法设计

数据结构

问题所需的数据需要从文件中读取，并以相应的结构保存这些数据，这里对customer和facility实现了两个类以及一些辅助函数：

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class Facility{
private:
    bool is_open = false;
    int capacity;
    int opening_cost;
    int total_demand;
public:
    Facility(){}
    Facility(int c, int o){
        capacity = c;
        opening_cost = o;
        total_demand = 0;
    }
    int getRoomLeft(){
        return capacity - total_demand;
    }
    void pop(int demand){
        total_demand -= demand;
        if(total_demand <= 0){
            is_open = false;
        }
    }
    bool canServe(int demand){
        return (total_demand + demand <= capacity);
    }
    void serve(int demand){
        is_open = true;
        total_demand += demand;
    }
    bool isOpen(){
        return is_open;
    }
    int getCapacity(){
        return capacity;
    }
    int getOpeningCost(){
        return opening_cost;
    }
};

class Customer{
    int demand;
    vector<pair<int, int>> assign_cost;
public:
    Customer(int d){
        demand = d;
    }
    void assign(int i, int cost){
        assign_cost.push_back(make_pair(i, cost));
    }
    int getDemand(){
        return demand;
    }
    vector<pair<int, int>> getAssignCost(){
        return assign_cost;
    }
    int getSingleAssignCost(int i){
        return assign_cost[i].second;
    }
};

同时，还执行算法的过程中还需要记录分配状态，这里使用一个vector来保存，下标对应顾客，值对应所分配的设施：

1
vector<int> assignment;

贪心算法

首先，比较容易想到的就是贪心算法了，对问题制定如下贪心策略：

  1. 遍历所有的customer，对每一个customer，对将其安排到所有facility的assignment cost进行排序（从小到大）。
  2. 从assignment cost小的facility开始，找到第一个有空位的facility并将customer分配给它，更新总的cost。

具体实现如下：

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int greedy(vector<Facility> &facilities, vector<Customer> &customers){
    int total_cost = 0;
    for(int n = 0; n < customers.size(); ++n){
        vector<pair<int, int>> assign_cost = customers[n].getAssignCost();
        //对assignment cost排序
        sort(assign_cost.begin(), assign_cost.end(), [](const pair<int, int> &a1, const pair<int, int> &a2){
            return (a1.second < a2.second);
        });
        for(int i = 0; i < assign_cost.size(); ++i){
            if(facilities[assign_cost[i].first].canServe(customers[n].getDemand())){
                //有空位
                if(!facilities[assign_cost[i].first].isOpen()){	//第一次开启
                    total_cost += facilities[assign_cost[i].first].getOpeningCost();
                }
                total_cost += assign_cost[i].second;
                facilities[assign_cost[i].first].serve(customers[n].getDemand());
                assignment[n] = assign_cost[i].first;	//记录分配
                break;
            }
        }
    }
    return total_cost;
}

结果：

结果 时间
p1 9440 0
p2 8126 0
p3 10126 0.001
p4 12126 0
p5 9375 0
p6 8061 0
p7 10061 0
p8 12061 0
p9 9040 0
p10 7726 0
p11 9726 0
p12 11726 0
p13 12032 0
p14 9180 0
p15 13180 0
p16 17180 0
p17 12032 0
p18 9180 0
p19 13180 0
p20 17180 0.001
p21 12032 0
p22 9180 0
p23 13180 0
p24 17180 0
p25 18753 0.001
p26 15831 0.001
p27 21031 0.001
p28 26231 0.001
p29 20007 0.001
p30 16812 0.001
p31 22212 0.001
p32 27612 0.001
p33 18611 0
p34 15689 0.001
p35 20889 0.001
p36 26089 0.001
p37 18611 0.001
p38 15689 0.001
p39 20889 0.002
p40 26089 0.001
p41 7226 0
p42 9957 0.001
p43 12448 0
p44 7585 0
p45 9848 0.001
p46 12639 0
p47 6634 0
p48 9044 0
p49 12867 0
p50 10062 0
p51 11175 0.001
p52 10364 0
p53 12876 0
p54 10351 0
p55 12383 0.001
p56 23882 0.001
p57 32882 0.001
p58 53882 0.001
p59 39121 0.003
p60 23882 0.001
p61 32882 0.001
p62 53882 0.001
p63 39121 0.001
p64 23882 0.001
p65 32882 0.002
p66 53882 0.001
p67 39671 0.001
p68 23882 0.002
p69 32882 0.001
p70 53882 0.001
p71 39121 0.002

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8 8 1 6 3 8 2 4 4 1 9 8 3 2 8 3 4 0 9 7 3 8 6 4 2 5 1 5 0 5 2 6 0 3 9 4 4 3 0 4 1 8 1 5 7 0 4 0 4 0

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8 8 1 6 3 8 2 4 4 1 9 8 3 2 8 3 4 0 9 7 3 8 6 4 2 5 1 5 0 5 2 6 0 3 9 4 4 3 0 4 1 8 1 5 7 0 4 0 4 0

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8 8 1 6 3 8 2 4 4 1 9 8 3 2 8 3 4 0 9 7 3 8 6 4 2 5 1 5 0 5 2 6 0 3 9 4 4 3 0 4 1 8 1 5 7 0 4 0 4 0

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